Equations

Ecuaciones Exponenciales en la Ciencia I: Crecimiento y Decaimiento

por Anne E. Egger, Ph.D., Janet Shiver, Ph.D., Teri Willard, Ed.D.

La Isla de San Mateo es una isla remota en el Mar Bering frente a la costa de Alaska. En el año 1944, la Guardia Costera de Estados Unidos organizó una estación en la isla para ayudar a aviones y a buques en navegar el Mar Bering. Para proveer una fuente de emergencia de alimento para los 19 hombres en la estación, 29 renos, que consistían de 24 hembras y 5 machos, fueron introducidos a la isla. Unos pocos años después, el Guarda Costa abandono la isla, dejando a los renos. En el año 1957, el investigador Dave Klein, un biólogo trabajando para el Servicio de Pesca y Vida Silvestre de los EEUU, visitó la isla y contaron 1,350 renos saludables, cuya población había explotado debido a la escasez de depredadores y la abundancia de líquenes, la cual es su fuente primaria de alimento. Klein regresó a la isla en el año 1963, en donde se asombró para encontrar que la población había crecido a mas de 6,000, el cual representa un increíble 47 por cada milla cuadrada (18 por cada kilometro cuadrado).

Tres años después en 1966, Klein y otros regresaron a la isla para encontrar que de la población de renos había caído de 6,000 renos saludables a 42 renos enfermizos. De esos 42, 41 eran hembras y 1 era macho que tenia cuernos deformados, una señal que probablemente no podía reproducir. El sobrepastoreo había eliminado el suministro de liquen, una fuente significante de alimentación invernal para los renos. La escasez de comida causó una disminución de 40% de peso corporal de animales y los hizo menos capaces de aguantar los inviernos pesados de la Isla de San Mateo (Klein, 1968). Para la década de 1980, ningún reno permanecía en la isla.

La Figura 2 muestra la gráfica de la población de renos en la Isla de San Mateo. Note que la población de renos en la isla cambió relativamente lentamente de año a año en el comienzo, pero con el paso del tiempo, incremento por cantidades mas y mas grandes. Este patrón de crecimiento debería de tener sentido intuitivo: Mientras mas renos habían en la isla, mas nacimientos ocurrían. Entonces la población incrementa mas rápido con el tiempo, resultando en la forma curveada cóncava hacia arriba de la gráfica – por lo menos hasta 1963.

A diferencia de la pendiente de una línea recta, la pendiente de una curva en una gráfica no es constante, entonces la ecuación que describe la gráfica tiene que tener una forma diferente que la ecuación lineal (la cual se escribe de la manera y = mx + b; vea nuestro módulo acerca de Ecuaciones Lineales en la Ciencia: Relaciones con dos Variables para mas información.) En vez de esto, la ecuación que describe esta forma tiene una variable como un exponente, tal como y = 5x, y por ende se llama una ecuación exponencial.

El crecimiento rápido en el numero de renos en la Isla de San Mateo puede ser descrito como una ecuación exponencial, y se le llama crecimiento exponencial. Este tipo de crecimiento (y su opuesto, decaimiento exponencial) es un fenómeno natural común, y por ende ecuaciones exponenciales son utilizadas frecuentemente en todas las ramas de ciencia. Después de describir estos tipos de ecuaciones en mas detalle, determinaremos la ecuación que describe el crecimiento de la población de población de renos.

Las primeras ecuaciones exponenciales

Algunos de los primeros records de la solución de problemas matemáticos venían del antiguo Egipto en la forma de papiros que fueron escritos entre 1850 y 1600 AEC. Uno de estos el Papiro Matemático Rhind, es una colección de problemas matemáticos escritos alrededor de 1650 AEC, cuyo titulo es “Método correcto de cálculos para captar el significado de las cosas y conocer todo lo que es, misterios… y todos los secretos (ver Figura 3 para una imagen del Papiro Rhind). Esto no fue un documento puramente académico: Los problemas en el papiro fueron utilizados para manejar suministros de alimentos para ciudades entre otras cosas.

Un problema dice:

En una aldea, habían 7 casas; cada cada tenia 7 gatos, cada gato cazaba 7 ratones; cada ratón se hubiera comido (si no fuese por los gatos) 7 lenguas de trigo, cada lengua de trigo produce 7 hekats de granos en la cosecha. Cuantos hekats de granos fueron salvados por la presencia de los gatos? (como fue citado en Curtis, 1978).

Si ponemos esa información en forma de tabla, aquí esta lo que obtendrá:

Table 1: Una tabla de datos del problema del papiro de Rhind.
Objeto ¿Cuantos? Anotación
exponencial
Número
total
Casa 7 71 7
Gatos 7 x 7 casas 72 49
Ratones 7 x 7 gatos x 7 casas 73 343
Lenguas de trigo 7 x 7 ratones x 7 gatos x 7 casas 74 2401
Hekats 7 x 7 lenguas x 7 ratones x 7 gatos x 7 casas 75 16807

Los números se incrementan rápidamente por multiplicación del mismo número por si solo en lo que es llamado progresiòn geométrica. Los Egipcios no utilizaban la anotación simbólica de exponentes que utilizamos hoy en día, pero estaban bien familiarizados con la idea de progresión geométrica.

El uso de la anotación exponencial vino mucho después, cuando René Descartes definió la anotación a2 como ser el equivalente a aa, “para multiplicar a por si solo” y a3 como ser “por multiplicarlo de nuevo por a, y subsiguientemente infinitamente” (Descartes, 1637). Sin embargo, en ese entonces Descartes no utilizó la palabra “exponente” (exposant en Francés). De hecho, no es completamente claro cuando la palabra “exponente” se comenzó a usar para describir el uso del sobrescrito derecho como una expresión matemática y la mayoría pensaban que no necesitaba explicación en ese entonces. Para lidiar con esa escasez de explicación, Charles Reyneau publicó Analyse demontrée en 1708, en el cual declara “La única calculación que no se explica en las Teorias de Algebra debe ser descrita y esto es exponentes o poderes” (Cajori, 1913). Sin embargo, en la primera década del siglo XVIII, tanto el concepto matemático de ecuaciones exponenciales como la anotación de exponentes fueron firmemente establecidos.

Punto de Comprensión

El primer record escrito de problemas matemáticos que utilizaban el progreso geométrico fue:

¿Qué son ecuaciones?

Una ecuación exponencial es una ecuación en cual una variable ocurre en el exponente. Por ejemplo, y = 5x es una ecuación exponencial debido a que el exponente es la variable x (también se dice “5 a la potencia de x”), mientras que y = x5 no es una ecuación exponencual debido a que el exponente es 5 y no una variable. A menudo escribimos ecuaciones exponenciales como y = abx, en donde a y b son constantes (números que no cambian de valor) y x y y son variables. Adicionalmente, a es llamado el valor inicial y b es llamado el valor base. En la mayoría de las áreas de la matemáticas y la ciencia, x es considerada la variable independiente o manipulable y y es la variable dependiente o de respuesta, debido a que el valor que obtenemos de y depende de lo que sustituimos por x.

En ecuaciones exponenciales, el valor de b, el valor base, tiene algunas restricciones. La constante b no puede ser igual a 1 y debe ser mayor de 0. ¿Por qué? Si b = 1, entonces sin importar el valor de x, el valor de y es siempre el mismo número a; si b = 0 entonces el valor de y es siempre 0. Cuando graficamos la ecuación con estos valores, obtendremos una línea horizontal (por ende una ecuación lineal) en vez de una curva exponencial. Si b < 0 algunos valores de x resultara en valores de y que no son verdaderos. Por ejemplo, si x es una fracción como ½ y b = -2, entonces (-2)½= √-2, el cual no es un numero real y no puede ser graficado en un eje de números reales.

Graficando una ecuación exponencial

Miremos el comportamiento de una ecuación exponencial, y = 5x y compárelo a una ecuación lineal, y = 5x + 1. Para ver las diferencias, graficaremos ambas ecuaciones primero completando una tabla de valores, mostrada a continuación.

Table 2: Tabla mostrando valores “y” para diferentes valores “x” para una ecuación lineal y una ecuación exponencial.
Ecuaciones lineales Ecuaciones exponenciales
x y=5x+1 y Cambio en valor y y=5x y Cambio en valor y
-1 5(-1)+1 -4 5-1 1/5
0 5(0)+1 1 +5 (“plus 5”) 50 1 x5 (“por 5”)
1 5(1)+1 6 +5 51 5 x5
2 5(2)+1 11 +5 52 25 x5
3 5(3)+1 16 +5 53 625 x5

Los valores de “y” de una ecuación lineal son el resultado de simplemente agregar el mismo valor una y otra vez (en este caso, 2), llamado progresión aritmética. Al contrario de valores “y” de una ecuación exponencial que son el resultado de multiplicación repetida por la misma cantidad (igual, 2), llamado una progresión geométrica. Podemos comparar estos dos conjuntos de resultados gráficamente, mostrado en la gráfica a continuación

Linear equations graphed
Figure 4: Graph of the linear equation y=5x+1 (red line) compared to the graph of the exponential equation y=5x (blue line).

La gráfica de una ecuación lineal es una línea recta e incrementa a un ritmo constante. Por otra parte, la gráfica de la ecuación exponencial no es una línea recta y aumenta a un ritmo incremental formando una curva. Debido a que la potencia en una expresión exponencial indica el número de veces de que el número base se multiplica por si mismo, tal como 23 = 2 * 2 * 2, después mientras las potencias aumentan, multiplicamos por el mismo valor mas y mas veces. Esta relación causa que y aumente lentamente al principio y después mas rápidamente mientras que el valor de x incremente, mientras que cause que la gráfica aparezca curveada o cóncava en forma.

La gráfica es una ecuación exponencial con el valor inicial, a; es positivo y puede ser clasificado como crecimiento exponencial (aumentando a la derecha) o a decaimiento exponencial (disminuyendo hacia la derecha) dependiendo del valor de b; vea los dos gráficos en la figura 5 para comparar crecimiento y decaimiento.

Exponential growth and decay
Figura 5: Dos gráficas comparando el crecimiento y decaimiento exponencial.

El crecimiento exponencial ocurre cuando b > 1, y cuando los valores y incrementan hacia la derecha. El decaimiento exponencial ocurre cuando 0 < b < 1 y cuando los valores y disminuyen hacia la derecha. Ambas gráficas se muestran cóncavas hacia arriba.

Cuando a < 0 , las gráficas de ecuaciones exponenciales se hacen cóncavas hacia abajo y valores x que aumentan resultan en valores y que cada vez son mas negativos. Mientras que esto es perfectamente aceptable matemáticamente, es raro en la ciencia que el valor inicial a sería negativo. Por ende, la mayoría de las gráficas que utilizamos en la ciencia se miran como curvas de crecimiento exponencial o de decaimiento exponencial mostrado en la Figura 5.

Punto de Comprensión

La grafica de una ecuación exponencial es una

Problema muestra 1

Suponga que usted es un estudiante universitario en el año 2015 y se le ofrece un empleo como un ecologista con un salario inicial de $40,000 al año. Para fortalecer la oferta, la compañía le promete aumentos anuales de 5% al año durante por lo menos los primeros cinco años de trabajo. Examinemos como su salario cambiara durante un periodo de cinco años.

Dejemos que x = el número de años desde el comienzo de su contrato y que y = el salario anual (en $) después de x años. Un aumento resulta en 100% (cantidad original) + 5% (aumento) = 105% o 1.05, multiplicado por su salario previo. (Mantenga en mente que se debe expresar el porcentaje como decimal.) Los resultados de estos cálculos se muestran en la tabla de abajo.

Tabla 3: Tabla de cálculos para el problema de muestra 1.
x Años Cálculos de Salario con Aumento de 5% Salario Anual después de Aumento
0 40,000.00 = 40,000.00•(1.05)0 $40,000.00
1 40,000.00 (1.05) = 40,000.00•(1.05)1 $42,000.00
2 [40,000.00(1.05)](1.05) = 40,000.00•(1.05)2 $44,100.00
3 [40,000.00(1.05)2](1.05) = 40,000.00•(1.05)3 $46,305.00
4 [40,000.00(1.05)3](1.05) = 40,000.00•(1.05)4 $48,620.25
5 [40,000.00(1.05)4](1.05) = 40,000.00•(1.05)5 $51,051.26
x 40,000.00•(1.05)x 40,000.00(1.05)x

Note que en el año 0, representando el año inicial del trabajo, no habrá multiplicador para determinar el salario o se puede pensar $40,000 • (1.05)0 = $40,000.00 • 1 = $40,000. Después en el año 2, $40,000 se multiplica por (1.05)1, o solamente 1.05. Para el año 2, $40,000 se multiplica por 1.05 dos veces, una vez para el incremento del primero año y una segunda vez para obtener el aumento adicional del año 2. Esto nos da $40,000 • (1.05)2. Este patrón continua para cada año adicional con el exponente para 1.05 siendo el mismo que el número de año, x.

En el ejemplo del salario, el salario inicial es a, el valor inicial. El valor b = (1 + 0.05) o 1.05, el cual se puede decir que es 100% del salario del año anterior mas un incremento de 5%. Sustituyendo en ambos valores, la ecuación se convierte y =40000(1.05)x, en donde x es el numero de años desde ser contratado. Esta ecuación exponencial nos permite encontrar su salario después de cualquier numero de años en el trabajo, con tal de que nada mas cambie.

Punto de Comprensión

Para calcular sus ingresos futuros después de aumentos anuales de cierto por

Problema muestra 2

Regresemos a los renos de la Isla de San Mateo y escribamos una ecuación exponencial para representar su crecimiento poblacional. Debido a que no tenemos datos de cada año o en intervalos regulares de tiempo, este problema requiere un poco mas de manipulación para resolver. Primero, necesitamos convertir el año (tal como ser 1957) a los años desde que se introdujeron los renos, o los años desde el año 1944. El número de años desde que se introdujo renos es x en esta ecuación y y es el numero de renos en la isla. Tenemos tres puntos de datos con los que podemos trabajar: 1944 o 0 años después de la introducción, 1957 que es 13 años después la introducción y 1963 que es 19 años después de la introducción (ver la tabla a continuación).

Tabla 4: Tabla de datos para renos de la Isla de San Mateo.
Años Años desde introducción
(Año – 1944)
Número de
renos
1944 0 29
1957 13 1350
1963 19 6000

El número inicial de renos en la isla era 29, entonces a = 29. Necesitamos determinar que es b para escribir una ecuación completa, pero no tenemos intérvalos de tiempo regularmente espaciadas para determinar esto fácilmente a mano. Con una calculadora gráfica o programa de hojas de cálculo, se puede introducir pares ordenados en la tabla anterior ((0, 29), (13, 1350), y (19, 6000)) en la función de lista y encontrar una ecuación exponencial para el conjunto de datos. Una ecuación generado por medio de este proceso estadístico, llamado regresión, es y = 30.14(1.33)x y el valor de b es determinado ser 1.33. Compare esto con el valor de b para el problema muestra 1, 1.05, en donde el ritmo de crecimiento del salario era 5% por año. Utilizando la misma lógica (1.33 – 1.00 = 0.33 o 33%), ¡la ecuación que derivamos sugiere un ritmo de crecimiento de 33% en la población de renos por año!

Esta ecuación puede ser utilizada para aproximar el número de renos en la isla durante cualquier año entre 1944 a 1963. Sin embargo, necesitamos recordar que esto es el modelo matemático derivado de datos limitados y los datos reales pueden ser un poco diferentes a los valores generados por la ecuación exponencial. Por ejemplo, si queremos predecir el número de renos en la isla en 1963, podemos sustituir 19 (1963 – 1944 = 19) para el exponente x

y = 29 ( 1.33 ) 19 = 6520 renos

Pero este valor es mas alto que el número verdadero de renos contados en la isla en ese entonces. La diferencia entre el número de renos contados y la predicción matemática se puede deber a cualquier número de factores, incluyendo errores de conteo de parte de los investigadores, variabilidad en la población de renos y un modelo impreciso matemático, el cual puede resultar en tener solamente tres puntos de datos para poder trabajar (para mas información acerca de modelos matemáticos, vea nuestro módulo Modelación en Investigaciones Científicas).

Ecuaciones exponenciales en la ciencia

Ecuaciones exponenciales son aplicadas en una gran variedad de situaciones en la ciencia, desde la modelación de la propagación de enfermedades virales en una población hasta la estimación de la presión atmosférica en una altitud dada a reacciones en cadenas en la fisión nuclear. Todos estos procesos involucran progresión geométrica: Por ejemplo, una persona con un virus puede infectar a diez mas y cada uno de estos diez puede infectar a diez mas. En todos estos casos, datos del mundo real pueden ser modelados utilizando ecuaciones exponenciales y estas ecuaciones pueden proveer predicciones de conocimiento futurístico. Resolviendo ecuaciones exponenciales es una herramienta valiosa para encontrar variables como ritmo de crecimiento, ritmo de decaimiento, la cantidad de tiempo que ha pasado o la cantidad de algo en un tiempo específico.

Resumen

Ecuaciones Exponenciales son indispensables en la ciencia debido a que pueden ser utilizadas para determinar el ritmo de crecimiento, ritmo de decaimiento, el tiempo que ha pasado o la cantidad de algo en un tiempo específico. Este módulo describe la historia de ecuaciones exponenciales y muestra como son graficadas. Problemas de muestra, incluyendo un vistazo al ritmo de crecimiento de la población de renos en la Isla de San Mateo en el Mar de Bering, ilustran como las ecuaciones exponenciales son utilizadas en el mundo real.

Conceptos Clave

  • Las ecuaciones exponenciales tienen una variable como una exponente y se escriben como y= abx.
  • Los valores “y” (o las soluciones a ello) de una ecuación exponencial siguen un progreso geométrico y son los resultados de multiplicaciones repetidas por la misma cantidad.
  • La forma de gráficas de ecuaciones exponenciales indican crecimiento o decaimiento exponencial.
  • Tanto el crecimiento exponencial como el decaimiento exponencial son procesos comunes y las ecuaciones exponenciales pueden ser utilizadas para modelar y predecir en muchas disciplinas.
  • NGSS
  • HS-C3.5
  • Referencias
  • Cajori, F. (1913). History of the exponential and logarithmic concepts. The American Mathematical Monthly, 20(2), 35-47.

  • Curtis, L. J. (1978). Concept of the exponential law prior to 1900. American Journal of Physics, 46(9), 896-906.
  • Descartes, R. (1637). La Géométrie. Leyde: Jan Maire.
  • Klein, D. R. (1968). The introduction, increase, and crash of reindeer on St. Matthew Island. Journal of Wildlife Management, 32(2), 350-367.

Anne E. Egger, Ph.D., Janet Shiver, Ph.D., Teri Willard, Ed.D. “Ecuaciones Exponenciales en la Ciencia I” Visionlearning Vol. MAT-3 (2), 2014.