Equations

La Conversión de Unidades: El Análisis Dimensional

por Donald G Wiggins, M.A./M.S.

El 23 de septiembre de 1999, el Orbitador Climático de Marte de la NASA, que costó $125 millones de dólares, se acercó al planeta rojo guiado por un equipo de controladores de vuelo en el laboratorio Jet Propulsion Laboratory (JPL). Según el plan, el orbitador sería una de las sondas para la exploración de Marte que continuaría girando alrededor del planeta y funcionando como el primer satélite extraterrestre climático. El vuelo había durado más de nueve meses y había cubierto más de 415 millones de millas hasta Marte. A medida que el orbitador se acercaba a su destino final, los controladores empezaron a darse cuenta que había un problema. Habían planificado que la sonda alcanzaría una órbita de aproximadamente 180 kilómetros de la superficie de Marte, bastante alejada de la delgada atmósfera del planeta. Sin embargo, los nuevos cálculos basados en la trayectoria del vuelo en ese momento, mostraban que el orbitador estaba casi dentro de los 60 kilómetros de la superficie de Marte, por lo que la sonda iba realmente a penetrar la delgada atmósfera del planeta, algo para lo que no había sido diseñada. Las consecuencias fueron catastróficas: cuando los científicos e ingenieros que dirigían la sonda perdieron la señal de comunicación, solamente podían asumir que la nave se había incendiado debido a la fricción producida al penetrar la atmósfera, algo que se suponía no ocurriría.

Mars Climate Orbiter
Figura 1: La representación de un artista del Orbitador Climático de Marte.

¿Qué causó el desastre? El problema surgió, en parte, debido a un error simple y aparentemente inocente. Durante el trayecto desde la Tierra, los vientos solares empujaron los paneles solares de la sonda, lo que poco a poco cambió el rumbo de la nave. Los diseñadores habían tomado precauciones y, así, los controladores de vuelo encendieron propulsores que, al ejercer fuerza sobre la sonda, ligeramente corregían y reajustaban su trayecto. Desgraciadamente, los ingenieros de la NASA midieron esta fuerza en libras (una unidad que no es métrica), mientras que el equipo del laboratorio JPL trabajó usando medidas Newton (una unidad métrica), por lo que no se hizo la conversión del programa que tenía que calcular la duración del lanzamiento de los propulsores. Debido a que 1 libra es igual a 4.45 Newton, se utilizó 4.45 veces más fuerza cada vez que se usaron los propulsores. Aunque cada error de ajuste era reducido, la acumulación de los errores aumentó a medida que pasaba el tiempo y resultó en la destrucción prematura de la nave en la atmósfera de Marte.

La pérdida del orbitador ilustra la necesidad del uso consistente de las unidades. La mayoría de las personas, sin embargo, se sienten más cómodas trabajando con las unidades con las que se criaron. Consecuentemente, tal vez no es posible que haya consistencia en las unidades entre equipos alrededor del mundo. De manera ideal, las personas se deberían sentir cómodas al usar varias maneras de convertir unidades para permitir la colaboración entre individuos de diferentes orígenes.

Aunque la mayoría de las personas no están controlando el espacio de sondas de la NASA, la conversión de unidades es algo que ocurre cada día, en todas las esferas de la vida. Hasta el simple problema de cómo determinar que dos docenas de huevos equivalen a 24 huevos es, en esencia, un problema de conversión de unidades. Aunque no nos demos cuenta, cuando realizamos esta conversión en nuestra mente, estamos haciendo lo siguiente:

2 d̶o̶c̶e̶n̶a̶ ̶d̶e̶ ̶h̶u̶e̶v̶o̶s̶ × 12 huevos 1 d̶o̶c̶e̶n̶a̶ ̶d̶e̶ ̶h̶u̶e̶v̶o̶s̶ = 24 huevos

Punto de Comprensión

Due to the lack of a common unit for calculations, the Mars Climate Orbiter

Análisis dimensional

Generalmente, las conversiones de unidades se resuelven más fácilmente usando un proceso llamado análisis dimensional, también conocido como el método del factor unitario. Una excepción notable es la conversión entre las unidades de temperatura (vea nuestro módulo La temperatura para más detalles). El análisis dimensional usa tres hechos fundamentales como pasos en este proceso para realizar las conversiones. Los tres pasos son:

1. Un factor de conversión es un enunciado de la relación equivalente entre dos unidades. El primer paso en el análisis dimensional requiere, por lo tanto, la identificación del factor o de los factores que se necesitan para la conversión. En el problema del huevo, el enunciado "1 docena de huevos = 12 huevos", es un factor de conversión.

2. Si se multiplican por un factor de conversión en la forma de ecuación, como, 12 huevos 1 docena de huevos o 1 docena de huevos 12 huevos , en realidad, se están multiplicando solamente por 1, puesto que las dos partes de la ecuación son iguales. El segundo paso en el análisis dimensional es, por lo tanto, componer un problema matemático que usa uno o más factores de conversión para alcanzar las unidades que se pretenden. En el problema del huevo, si hay dos docenas de huevos y se quiere saber cuántos huevos individuales se tienen, habría que componer el problema de esta manera:

2 docena de huevos × 12 huevos 1 docena de huevos

3. Las unidades, como los números o variables, se cancelan cuando se dividen por sí mismos. Así que el último paso en el análisis dimensional es trabajar en el problema matemático que se ha compuesto, a medida que se van cancelando las unidades. En el ejemplo del huevo, la "docena de huevos" en la parte inferior de la ecuación cancela "la docena de huevos" en el número original, lo que deja a los "huevos" como la única unidad en el problema, como se muestra en la respuesta final, 24 huevos.

2 d̶o̶c̶e̶n̶a̶ ̶d̶e̶ ̶h̶u̶e̶v̶o̶s̶ × 12 huevos 1 d̶o̶c̶e̶n̶a̶ ̶d̶e̶ ̶h̶u̶e̶v̶o̶s̶ = 24 huevos

Podemos aplicar estos pasos a un problema un poco más complejo que el conteo de huevos. ¿Cuánto dinero costaría llenar un tanque de gasolina de 23 galones de un camión si ésta cuesta $2.87 por galón?

  1. Factor de conversión: debido al precio, se puede decir que 1 galón = $2.87.
  2. 23 gal × $ 2.87 1 gal = x
  3. 23 g̶a̶l̶ × $ 2.87 1 g̶a̶l̶ = $ 66.01

Ahora que se ha llenado el tanque, ¡hay que emprender un viaje a México! A medida que usted cruza la frontera de los Estados Unidos a México, nota que la velocidad máxima permitida es 100. ¡Increíble! ¿Puede apretar el acelerador o necesita más información? Por supuesto, hay muy pocos países fuera de los Estados Unidos donde se ve la velocidad en millas por hora, en casi todas partes está en kilómetros por hora. Así que usted necesita hacer conversiones para saber el límite de velocidad permitido en una unidad que usted comprenda.

Lo primero que hay que hacer es definir lo que quiere decir en términos matemáticos "100 kilómetros por hora". El "por" quiere decir que el número es una proporción: 100 kilómetros de distancia por 1 hora de tiempo. Además, se necesita saber el factor de conversión entre kilómetros y millas, a saber, 1 milla = 1.61 kilómetros. Ahora la ecuación es muy sencilla. Inténtelo y después vea la siguiente animación para descubrir la fórmula matemática que se necesitan para resolver el problema.

Punto de Comprensión

Dimensional analysis is a method that can be used to convert km/h to mph.

Conversiones de unidades múltiples

Hasta aquí hemos visto ejemplos con un único factor de conversión, pero este método puede usarse para situaciones más complejas. Cuando es hora de volver a casa después del viaje a México, usted se da cuenta que el tanque tiene lo mínimo para cruzar la frontera y pode llenarlo en los Estados Unidos. Usted ve que puede comprar gasolina por 6.50 pesos por litro antes de partir. A primera vista parece ser más caro que los $2.87 por galón que cuesta en Estados Unidos, pero ¿es así? Necesita hacer una conversión para estar seguro de esto. Afortunadamente, viene preparado y, antes de salir de su casa, ha averiguado la tasa de cambio de la moneda (1 peso = 8.95 centavos) y el volumen de conversión (1 galón = 3.79 litros).

Esta conversión es más complicada que las anteriores por dos razones. Primero, imagine que no tiene un factor de conversión directo y único para la conversión monetaria (pesos a dólares). Sabe que 1 peso = 8.95 centavos y que 100 centavos = 1 dólar. Estas dos informaciones le permitirán convertir el dinero. Lo segundo es que no solamente se está cambiando la unidad monetaria, también necesita convertir la unidad de volumen. Estas dos conversiones pueden realizarse en una ecuación . El orden no importa, pero hay que hacer ambas. Intente realizarlas y después vea la animación para descubrir la respuesta:

Observe que cuando se arregla correctamente, hay que poner la "L" arriba de la barra de división en el factor de conversión para cancelar la "L" debajo de la barra en el número original. También observe que aunque los términos "L" están separados por dos factores de conversión, se siguen cancelando. Ahora es más fácil decidir si quiere llenar el tanque en México o en Estados Unidos.

Puede comprobar que no se necesita ser un ingeniero de la NASA para usar el análisis dimensional. Hay que convertir unidades en la vida cotidiana (por ejemplo, para planificar el aumento de la gasolina) y en las aplicaciones científicas, como para la estoiquiometría en la química y para el cálculo de los movimientos de placas en la geología. Si usted sabe qué unidades va a utilizar y en qué unidades quiere su respuesta, no necesita memorizar una fórmula. Si los equipos que trabajan en la Orbitador Climático de Marte se hubiesen dado cuenta que tenían que seguir estos pasos, actualmente estaríamos recibiendo informes climáticos de Marte.

Resumen

When units of measurement are not used consistently in science, serious consequences can result, as seen in NASA’s Mars Climate Orbiter disaster. This module introduces dimensional analysis, or the factor label method, of converting units of measurement to solve mathematical problems. The module takes readers through realistic scenarios where unit conversion is required and explains how to set up and solve problems using dimensional analysis.

Conceptos Clave

  • Most unit conversions can be solved through dimensional analysis, also known as the factor-label method.

  • Dimensional analysis uses three fundamental facts: (1) A conversion factor is a statement of the equal relationship between two units; (2) Multiplying by a conversion factor in the form of a ratio is multiplying by 1, since the two parts of the ratio equal each other; (3) Units "cancel" when you divide a unit by itself.

  • The steps in the conversion process are (a) identifying the conversion factor(s) needed, (b) setting up a mathematical problem that uses one or more conversion factors to get to the desired units, and (c) working the math problem, canceling units along the way.

Donald G Wiggins, M.A./M.S. “La Conversión de Unidades” Visionlearning Vol. MAT-3 (2), 2008.

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