Las Matemáticas en el Movimiento de las Ondas: Funciones Trigonométricas

por Gary Welz, M.A./M.S.

Las ondas nos son familiares por el océano, por el estudio del sonido, por los terremotos y por otros fenómenos naturales. Sin embargo, como diría cualquier surfista, las ondas oceánicas, como todas las ondas, vienen en tamaños muy diferentes. Para entender del todo a las ondas, necesitamos entender las medidas asociadas a ellas, por ejemplo, cada cuánto se repiten (su frecuencia), cuán largas son (su longitud de onda), y su tamaño vertical (amplitud).

Si bien estas medidas coadyuvan a describir las ondas, no nos ayudan a predecir el comportamiento de las mismas. Para lograrlo, necesitamos ver las ondas de manera más abstracta, lo que podemos hacer usando una fórmula matemática. Sí, es posible ver las ondas matemáticamente, ya que la forma de una onda se repite a intervalos constantes a lo largo del tiempo y la distancia. Este comportamiento refleja la repeticion del círculo. Imagine que dibuja un círculo en un papel. Ahora, haga de cuenta que dibuja la misma forma mientras que, despacio, su amiga retira el papel de debajo del lápiz. La línea que hubiera dibujado toma la forma de una onda. Para poder apreciar mejor esta idea, vaya al enlace "Del círculo a la onda" en la sección Experimento! en el menú de la derecha. Una rotación alrededor del círculo, completa un ciclo de subida y bajada de la onda, tal como se ve en el dibujo de abajo.

Figura 1: círculo sobre plano cartesiano

Los matemáticos usan la función seno (Sin) para expresar la forma de una onda. La ecuación matemática que representa la onda más simple es la siguiente:

y = Seno(x)

Esta ecuación describe cómo una onda podría ser trazada en un gráfico, en el que y (el valor de la coordenada vertical en el gráfico) es una función del seno del número x (la coordenada horizontal).

La función seno es una de las proporciones trigonométricas calculadas, en un principio, por el astrónomo Hipparchus de Nicea, en el siglo dos A.C., cuando trataba de entender el movimiento de las estrellas y de la luna en el cielo nocturno. Hace más de 2000 años, cuando Hipparchus empezó a estudiar astronomía, el movimiento de los objetos en el cielo era un misterio. Hipparchus sabía que las estrellas y la luna tendían a atravesar el cielo nocturno de una manera semi-circular. Por consiguiente, pensaba que entender la forma de un círculo era importante para entender la astronomía. Hipparchus empezó a observar que había una relación entre el radio de un círculo, el ángulo central de un triángulo de ese círculo y la longitud del arco de ese triángulo. Si se sabían dos de cualquiera de estos valores, se podía calcular el tercer valor. Con el tiempo, se supo que esta relación también era aplicable a los triángulos rectangulares. Conociendo la medida de un ángulo de un triángulo rectangular, se puede calcular la proporción de los lados del triángulo. El tamaño exacto del triángulo varía, pero la proporción de la longitud de los lados está definida por el tamaño de los ángulos. La relación específica entre la medida del ángulo y los lados del triángulo son lo que se denominan las funciones. Las tres funciones principales son:

  • Seno A = opuesto/hipotenusa
  • Coseno A = adyacente/hipotenusa
  • Tangente A = opuesto/adyacente

Figura 2: triángulo

La palabra trigonometría significa "medida de triángulos". El seno, el coseno y la tangente son las proporciones trigonométricas, que tienen su origen en el antiguo estudio de los triángulos.

Las proporciones trigonométricas se convierten en funciones de ondas

¿Cómo están relacionados los triángulos a las ondas? Al principio del siglo XVII, dos franceses, René Descartes y Pierre Fermat desarrollaron lo que se conocería como el plano coordenado cartesiano, comúnmente conocido como el plano gráfico (x,y). Este invento fue un avance extraordinario en la historia de las matemáticas ya que se vió, por primera vez, la integración de dos ramas importantes, pero distintas, de las matemáticas: la geometría, como la ciencia del espacio y de la forma y el álgebra, como la ciencia de los números. En poco tiempo, con el invento del sistema coordenado cartesiano se pudo graficar muchas de las relaciones matemáticas, incluidas las proporciones seno y coseno.

Como se sabe, las funciones trigonométricas también pueden ser definidas en relación con el "círculo unidad", o sea, un círculo con radio igual a 1. Se puede ver cómo funciona esta premisa, cuando se coloca el círculo unidad en el plano cartesiano y se dibuja un triángulo dentro del círculo, como se puede ver en el diagrama que se observa a continuación. De acuerdo a nuestra discusión previa, el seno del ángulo A en el diagrama equivale a la proporción del lado opuesto sobre la hipotenusa. Sin embargo, recuerde que estamos trabajando con un círculo unidad y que la longitud de la hipotenusa es igual al radio del círculo, o sea 1. Por consiguiente,

Seno(A) = opueso/1 = opuesto
. De esta manera, el seno de A da la longitud del lado opuesto del triángulo, es decir, la coordenada -y de nuestra plano cartesiano. De igual manera, el coseno del ángulo A equivale al radio de los lados adyacentes sobre la hipotenusa. Puesto que la longitud de la hipotenusa equivale a 1, el coseno de A da la longitud del lado adyacente, es decir, la coordenada -x del plano cartesiano.

Figura 3: En este dibujo se muestra el círculo unidad en el plano cartesiano con un triángulo al interior. El punto en círculo en contacto con el radio tiene las coordenadas (x,y).

Si dibujamos este triángulo a medida que nos movemos, en dirección contraria al reloj, en el círculo, empezamos a ver que las funciones trigonométricas, en este caso seno y coseno, tienen una cualidad periódica. Esto quiere decir que seno, por ejemplo, aumenta al máximo en la parte superior del círculo, disminuye a cero cuando se va a la izquierda y adquiere valores negativos cuando se continúa alrededor del círculo. En la parte inferior del círculo la función seno alcanza un valor mínimo y el proceso empieza de nuevo cuando llegamos a la derecha del círculo. Para apreciar mejor esta idea, revise la animación en este enlace Seno, coseno, y el círculo unidad.

Seno, Coseno, y la Unidad Círculo
Esta animación ilustra cómo los valores seno y coseno cambian a medida que recorremos la unidad círculo.

Como se pudo observar en la animación anterior, a medida que el ángulo A aumenta, los valores de las funciones trigonométricas de A experimentan un ciclo periódico de 0, a un máximo de 1, a un mínimo de -1, y de nuevo a 0. Hay varias maneras de expresar la medida del ángulo A. Una manera es en grados, donde 360 grados definen un círculo completo. Otra manera de medir ángulos es con la unidad llamada radián, en la que 2π radianes definen un círculo completo. Los ángulos más pequeños que 360 grados pueden ser definidos como fracciones de esta unidad, por ejemplo: 90° pueden ser escritos como π/2, o 1.57 radianes, en tanto que 180° equivale a π/ , o 3.14 radianes. Si trazamos el seno del ángulo medido en radianes en el sistema de coordenadas cartesiano, de nuevo obtenemos la característica subida y bajada. Sin embargo, ya que la medida del ángulo está trazada a lo largo del eje x (en vez del coseno del ángulo), la gráfica que se obtiene es una curva continua en el plano coordenando que se parece a una onda física, tal como se puede apreciar en la gráfica inferior.

Figura 4: Grafíco Seno.

Si mira detenidamente a este gráfico, verá que la onda cruza el eje x en los múltiplos 3.1416… - el valor de pi. Una onda entera está completa en el valor 6.2832…, o 2π, exactamente la circunferencia del círculo unidad.

Al entender el origen de la función seno, se hace más fácil entender cómo opera en relación a las ondas. Como vimos con anterioridad, la fórmula básica que representa la función seno es:

y = Seno(x)
En esta fórmula, y es el valor en el eje, que se obtiene cuando se realiza la función Seno(x) en los puntos del eje x. Esto produce el gráfico de la onda básica seno. ¿Pero, cómo podemos representar otras formas de ondas, especialmente aquellas que son más largas o más grandes? Para poder trazar ondas de diferentes tamaños, necesitamos añadir otros términos a nuestra fórmula. Lo primero que veremos es la amplitud.
y = ASeno(x)

En esta modificación de la fórmula, A nos da el valor de la amplitud de la onda - la distancia que mueve arriba o debajo del eje x, o la altura de la onda. Esencialmente, lo que realiza el modificador A, es un aumento (o amplificación) del resultado de la función Seno (x), lo que produce valores y mayores.

Para modificar la longitud de onda de una onda, o la distancia de un punto de una onda a un punto igual en la siguiente onda, se usa el modificador k, como se puede ver en la fórmula siguiente.

y = ASin(k*x)

El multiplicador k extiende la longitud de la onda. Recuerde nuestra discusión anterior que la longitud de onda, de la onda más simple es 2π, por consiguiente la longitud de onda en la fórmula final está determinada simplemente dividiendo 2π por el multiplicador k, por lo que la longitud de onda(λ) = 2π/k.

Si desea seguir estudiando esta relación, el enlace "Shape of a Wave" ("La forma de una onda") en la sección Experimento!, a la derecha, le muestra cómo la forma de una onda varía cuando la amplitud o la longitud de onda cambian. Para seguir investigando cómo cambian los valores de A y k se puede usar el enlace "Wave Calculator" ("Calculadora de ondas") en la sección Investigación.

Puesto que las ondas siempre están en movimiento, otro término importante para describir una onda es el tiempo que se necesita para que una longitud de onda pase un punto específico en el espacio. Este término, referido como el periodo, T, es equivalente a la longitud de onda, T = Periodo = 2π/k. Sin embargo, está dado en unidades de tiempo (sec) en vez que de distancia. Entender las matemáticas de las funciones de las ondas, nos permite entender mejor el mundo natural que nos rodea. Por ejemplo, las diferencias entre los colores que usted ve en esta página, tienen que ver con las diferentes longitudes de ondas percibidas por nuestros ojos. De igual manera, la diferencia entre el trinar de un pájaro y el estruendo de una locomotora se debe al tamaño de las ondas de sonido que se emiten. Las ondas, y por consiguiente las ondas matemáticas, nos rodean constantemente.

Platón...le dió a los matemático el siguiente problema: ¿Qué movimientos circulares, uniformes, y perfectamente regulares, tienen que ser admitidos como hipótesis para que sea posible salvar las apariencias de los cielos?
-Simplicius (490 AD -560AD)